Il tuo approccio è giusto, se non fosse che stai cercando qualcosa non in un file di testo, ma in un documento HTML del quale dovresti fare il parsing, perché altrimenti rischi di avere falsi positivi legati a nomi di classi, tag, attributi, commenti ecc…
Senza parsing HTML:
curl -s "$1" | grep -m1 form && echo "$1"
Con parsing HTML (ricerca solo nel contenuto visualizzato dal browser):